Расчет изгиба тонкой пластины. Многие механические устройства содержат составные части, которые могут быть рассмотрены как тонкие пластины.

А. В. Ухтин (УО «ГГТУ им.П.О.Сухого», Гомель)
Науч. рук. Е.В. Лозовская, ассистент

РАСЧЕТ ИЗГИБА ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ

Многие механические устройства содержат составные части, которые могут быть рассмотрены как тонкие пластины. Поэтому получение результатов расчета нагруженных тонких пластин является актуальной задачей.
Пластину можно рассматривать как трехмерный объект, но в этом случае необходимо будет решать трехмерную задачу упругости. Однако учитывая то, что пластина тонкая, трехмерная задача может быть сведена к двухмерной, т.е. другими словами будем считать, что деформации срединной поверхности однозначно определяют деформированное и напряженное состояние рассматриваемого тела. Таким образом мы будем использовать следующие упрощения:
– перемещения точек срединной поверхности малы по сравнению с толщиной пластины;
– справедлива гипотеза Киргофа, т.е. считаем, что точки пластины, расположенные на нормали к срединной поверхности в процессе приложения нагрузки остаются на нормали к деформируемой срединной поверхности;
– слои пластины, параллельные срединной поверхности, не надавливают друг на друга.
Рассмотрим решение задачи изгиба тонкой пластины методом конечных элементов. Примем, что пластина изготовлена из изотропного материала, её срединная поверхность 13 EMBED Equation.3 1415 совпадает с плоскостью 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (рисунок 1).

Рисунок 1 – Изгиб пластины

Введем обозначения: 13 EMBED Equation.3 1415 – толщина пластины, 13 EMBED Equation.3 1415– область, занимая пластиной, 13 EMBED Equation.3 1415 – верхняя поверхность пластины, внешняя нормаль к которой совпадает с ортом оси 13 EMBED Equation.3 1415. На поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 задается нагрузка приложена нагрузка, состоящая из распределенных сил 13 EMBED Equation.3 1415 и моментов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Нижняя поверхность пластины свободна от внешних сил. Такая нагрузка вызывает только изгиб срединной поверхности, деформации удлинения и сдвига оказывается равными нулю. Поэтому степени свободы точек 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, расположенных на срединной поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 задаются величинами; 13 EMBED Equation.3 1415– перемещение по оси 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 – угол поворота сечения 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 – угол поворота сечения 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415.
В соответствии с методом конечных элементов [1] срединную поверхность представим совокупностью четырехугольных элементов.
В результате получаем систему уравнений в виде:

13 EMBED Equation.3 1415 (1)

где: 13 EMBED Equation.3 1415 – матрица жесткости пластины;
13 EMBED Equation.3 1415 – искомые деформации узлов пластины;
13 EMBED Equation.3 1415 – вектор узловых нагрузок.
Четырехугольные элементы использовались ввиду простоты вычислений соответствующих элементов матрицы жесткости [2].
Уравнение (1) представляет собой систему 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415– число узлов) уравнений относительно перемещений и углов поворота узловых точек. Система (1) может быть модифицирована с учетом граничных условий.
На основе вышеуказанного алгоритма была составлена программа на MathCad. Для верификации программы был проведен расчет квадратной свободно опертой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. Полученные результаты с погрешностью не более 0,5% соответствуют расчету, приведенному в [2].

Литература
1. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К.Бате, Е.Вилсон. – М.: Cтройиздат, 1982. – 448 c.
2 Варвак, П.М. Cправочник по теории упругости / П.М. Варвак, А.Ф.Рябов – Киев.: Будiвельник, 1971. – 418 c.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 24237915
    Размер файла: 225 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий