Число будет «счастливым», если оно равно сумме всех трех своих соседей. 5) укажите условия, при выполнении которых задача имеет ровно одно решение (или ровно два решения, или ровно три решения

Задания на V Минский городской открытый
турнир юных математиков – 2018
младшая лига, 5-7 классы, 14-17 марта 2018 г.
Предварительные заявки с указанием учреждения(й) образования, руководителя команды, его телефона и электронного адреса необходимо представить до 15 февраля 2018г.
Официальные заявки и предварительные исследования (материалы) необходимо представить до 23 февраля 2018г.
В предварительных материалах должны быть представлены ваши исследования (решения) не менее 6 заданий.
Адрес оргкомитета: 220030, г.Минск, пр.Независисмости, 4, БГУ, ФПМИ, каб. 515, тел. 8-017-209-50-70
E-mail: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
подробнее см. сайт [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (на странице «Минский городской открытый турнир юных математиков – младшая лига»)

Обращаем ваше ВНИМАНИЕ на то, что предлагаемые задачи (задания!) носят исследовательский характер, поэтому наилучшие обобщения и полные решения неизвестны даже их авторам, поэтому:
хотя мы и ждем максимальных ВАШИХ обобщений, но во многих задачах интерес представляют даже отдельные частные случаи;
возможно (это допускается и даже приветствуется) ВЫ сможете усилить ряд утверждений, приведенных непосредственно в формулировках задач;
кроме рассмотрения исходной постановки полезно исследовать свои направления, причем совсем необязательно ваши обобщения должны совпадать с предложениями авторов задач;
КАЖДУЮ ЗАДАЧУ НЕОБХОДИМО ОФОРМИТЬ ОТДЕЛЬНО:
в распечатанном (шрифт –Times New Roman, размер 14 пт) или аккуратно записанном от руки виде;
при этом оформление каждой задачи должно начинаться С ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА, на котором должны быть указаны номер задачи и ее название, название учреждения(й) образования, город, автор(ы) исследования (решения);
НИЖЕ НА ТИТУЛЬНОМ ЛИСТЕ (или на втором листе) обязательно дайте краткое резюме вашего исследования – какие пункты Вы решили, какие сделали обобщения,
при этом четко сформулируйте ВАШИ ГЛАВНЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ (утверждения, примеры, гипотезы), с указанием страниц в работе, где они приведены и доказаны (обоснованы);
на последней странице приведите список литературы и Интернет-источников, которые Вы использовали при проведении исследования (строго обязательно!)
Задание 1. Счастливые числа
В вершинах куба живут числа. Во всех вершинах числа попарно различные. Число будет «счастливым», если оно равно сумме всех трех своих соседей. Какое наибольшее количество «счастливых» чисел может быть в кубе если:
Все числа натуральные
Все числа целые
Решите аналогичную задачу для натуральных, целых и рациональных чисел, если «счастливым» называть число равное
Произведению трех соседей
Или произведению трех соседей или сумме трех соседей.
А если «счастливым» будет число которое равно
Сумме двух любых своих соседей
Сумме двух соседей умноженной на третьего соседа
Попробуйте решать пп. 1-3 для других фигур:
Тетраэдр, октаэдр, додекаэдр
N-мерный куб (в пункте 3 можно считать, что счастливое число равно сумме (N  – 1) соседа вместо двух; можно также исследовать и для других значений количества соседей больше одного.)
Придумайте свои варианты и обобщения.


Задание 2. «Морской бой»
Пункт 1: Имеется поле 5x5 для игры в «Морской бой». Клетки поля обозначаются так: строки обозначаются числами 1, 2, 3, 4, 5 сверху вниз, столбцы – буквами а, б, в, г, д слева направо. Флот может состоять из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек. Каждый ход – это удар по одной из клеток.
На доске 5x5 стоит
а) «линкор»;
б) «крейсер»;
в) «эсминец»;
г) «подводная лодка».
Где именно он стоит, нам неизвестно. По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка попасть в «линкор»? (здесь и в остальном тексте интересует минимально возможное число выстрелов)
На доске 5x5 стоит эскадра из двух кораблей – «линкора» и «крейсера». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть хотя бы один из кораблей эскадры?
На доске 5x5 стоит эскадра из «линкора» и 2 «крейсеров». Найдите план стрельбы, гарантирующий попадание за минимальное число выстрелов.
Корабли эскадры в сумме занимают 10 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?
Пункт 2: Имеется поле 10x10 для игры в «Морской бой». Клетки поля обозначаются так: строки обозначаются числами 1, 2,, 10 сверху вниз, столбцы – буквами а, б, в, г, д, е, ж, з, и, к слева направо. Флот состоит из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек. Каждый ход – это удар по одной из клеток.
На доске 10x10 стоит
а) «линкор»;
б) «крейсер»;
в) «эсминец»;
г) «подводная лодка».
Где именно он стоит, нам неизвестно. По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка попасть в «линкор»? (интересует минимально возможное число выстрелов)
На доске 10x10 стоит эскадра из двух кораблей – «линкора» и «крейсера». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть хотя бы один из кораблей эскадры?
На доске 10x10 стоит эскадра из «линкора» и 10 «крейсеров». Найдите план стрельбы, гарантирующий попадание не более чем за 23 выстрела.
Для гарантированного попадания в эскадру из «линкора», «крейсера», «эсминца» и 4 «подводных лодок» необходимо 24 выстрела. Докажите.
Для гарантированного попадания в один из кораблей эскадры из «крейсера» и двух «эсминцев» необходимо не менее 33 выстрелов. Докажите.
Корабли эскадры в сумме занимают 10 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?
Пункт 3: Имеется поле 5x5х2 для игры в «Морской бой 3 D». Клетки поля обозначаются так: длина обозначается числами 1, 2, 3, 4, 5 сверху вниз, глубина – буквами а, б, в, г, д слева направо, и высота – I, II. Над водой (верхняя часть доски) плавают только корабли, под водой (нижняя часть доски) – подводные лодки. Флот может состоять из: четырёхклеточного корабля – «линкор», трёхклеточного корабля –«крейсер», двух двухклеточных кораблей –«эсминцы», и четырёх одноклеточных кораблей – «подводные лодки». Корабли не должны иметь общих точек, а подводная лодка может соприкасаться не более чем с одним кораблем в вершине одной клетки . Каждый ход – это удар по одной из клеток.
На доске 5x5х2 стоит эскадра из трёх кораблей – «линкора» и двух «подводных лодок». По скольким клеткам надо нанести удары, чтобы наверняка задеть «линкор» и потопить одну «подводную лодку»?
На доске 5x5х2 стоит эскадра из «линкора», «крейсера» и четырех «подводных лодок». Найдите план стрельбы, гарантирующий за минимальное количество выстрелов попадание и в надводный флот и в подводный.
Корабли эскадры в сумме занимают 8 клеток. Какие корабли выбрать, чтобы как можно больше было то количество выстрелов, за которое можно наверняка попасть в один из кораблей?

Задание 3. Разрезания – 3
1. Какое максимальное количество прямоугольных плиток 1Ч4 можно вырезать из клеточного прямоугольника 10Ч10? (Разрезы проводятся по линиям клеток.)
2. Какое максимальное количество прямоугольных плиток 1Ч4 можно вырезать из прямоугольника mЧn (ответ будет зависеть от m и n)?
3. Рассмотрите аналогичные вопросы для плиток 1Ч3.
4. Рассмотрите аналогичные вопросы для плиток 1Ч5, 1Ч6.
5. Предложите свои обобщения и направления исследования в этой задаче. Заметим, что кроме естественных обобщений типа «рассмотрите плитки других размеров 1Ч7 и т.д.», интересно рассмотреть вырезание плиток другого вида, например, уголков или плиток, имеющих вид буквы Т (см. рис.),
либо разрезание не прямоугольника, а уголка, состоящего
из клеток, т.п.


Задача 4. Уравняем кучки
Две исходные задачи:
1.0) В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Требуется путём трёх перекладываний из одной (какой-то) кучки в некоторую другую уравнять число орехов в этих кучках, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую кучку лишь столько орехов, сколько орехов в той кучке уже имеется.
2.0) У трех мальчиков (у Пети, Вани и Толи) есть по кучке фантиков. Общее число фантиков 120. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было (каждому из них столько, сколько у того было). Затем Ваня дал Пете и Толе столько, сколько у них стало после первого перекладывания. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось (т.е. после второго перекладывания). В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
Более общие задачи:
1) В трех кучках находится m, n и k орехов. Требуется путём нескольких перекладывании уравнять число орехов в этих кучках, соблюдая при этом условие: из любой (какой-то) кучки разрешается перекладывать в другую кучку лишь столько орехов, сколько в той их уже имеется. При каких значениях натуральных чисел m, n и k это возможно сделать. (Важно не только дать ответ, при каких значениях m, n и k можно, а при каких – нельзя, но и обосновать почему, в случае «можно» полезно описать алгоритм перекладываний).
2) Исследуйте задачу 2.0 для произвольного исходного числа N фантиков, а именно, при каких N мальчики могут поделить фантики поровну, а при каких – нет (ответ может зависеть от общего числа передачи фантиков от одного мальчика другим, а также от порядка передачи).
Еще одна задача:
3) В трех кучках находится m, n и k орехов. При тех же условиях перекладываний как в задаче 1 требуется опустошить одну из кучек. Попробуйте дать ответ на вопрос, при каких m, n и k это можно сделать и как? (Важно не только дать ответ, при каких значениях m, n и k можно, а при каких – нельзя, но и обосновать почему, в случае «можно» важно описать алгоритм перекладываний).
4) Попробуйте обобщить задачи 1) – 3) на несколько кучек (более трех, хотя бы в каких-то частных случаях).
6) Предложите свои обобщения в этой задаче и исследуйте их.

Задание 5. Воздушная разведка
На авианосце базируется самолеты двух типов: самолеты-разведчики и самолеты-заправщики. Заправку можно производить только на авианосце и в воздухе. При заправке в воздухе из баков одного самолета-заправщика в баки любого другого самолета (самолета-разведчика или другого самолета-заправщика) можно перекачивать любое количество горючего. Баки самолета-заправщика используются как для заправки других самолетов, так и для обеспечения собственного полета. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, без потерь времени и горючего.
Баки каждого самолета вмещают столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара.Чему равно минимальное число самолетов-заправщиков, которые смогут обеспечить полет одного самолета-разведчика по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?
А если баки вмещают топлива только на третью часть пути вокруг земного шара, скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?
Баки вмещают топлива только на 13 QUOTE 141/n 15часть пути вокруг земного шара, скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?
Дать ответ на пункты 1-3 если скорость самолета-разведчика в 2 раза больше скорости самолета заправщика?
Дать ответ на пункты 1-3 если скорость самолета-разведчика в 3 раза больше скорости самолета заправщика?
Рассмотреть пункты 1-5 расход топлива самолета-разведчика в 2 раза больше скорости самолета заправщика?
Рассмотреть пункты 4 и 6 если отношения равны другим натуральным числам.

Задание 6. Общая задача о переливаниях
1) Исходная задача. (Источник – Математический фольклор). Имеются два сосуда, объемом в 3 и 5 литров. Как получить с их помощью ровно 4 литра воды?
Примечание. Во всех пунктах задачи сосуды имеют неправильную форму, т.е. нельзя наливать или переливать «на глазок», имеется возможности наполнять сосуды из внешнего источника, переливать воду из сосуда в сосуд до края (т.е. до указанного максимального объема каждого сосуда) и выливать воду в раковину (т.е. имеется некий сток).
2) Решите подобные задачи для сосудов 5 и 7 литров, 4 и 6 литров, при этом попробуйте получить различные возможные объемы воды от 1 до 6 литров. Попробуйте обосновать, почему некоторые из объемов не получаются.
3) Общая постановка задачи: Имеются два сосуда, объемом в А и В литров, А, В – натуральные числа. Для каких натуральных значений С имеется возможность с помощью этих сосудов получить ровно С литров воды. Укажите множество возможных значений С и алгоритм получения каждого конкретного значения.
4) Попробуйте исследовать оптимальность вашего алгоритма, другими словами, попробуйте найти и обосновать самый короткий по числу переливаний алгоритм получения различных объемов С воды. Может вы сможете найти общую формулу числа требуемых операций (т.е. переливаний) в зависимости от А, В и С?
5) Исследуйте ту же задачу для трех сосудов с объемами А, В и С, а получить требуется D литров воды.
6) Исследуйте аналогичную задачу для трех сосудов с объемами А, В и С, с той разницей, что в условиях переливания нет источника и стока, но самый большой по объему сосуд, скажем С, полностью заполнен водой.
7) Исследуйте другие (сопутствующие) вопросы в этих задачах, а также предложите свои обобщения или направления и изучите их.

Задача 7. Ребусы – 4
Исходная задача: а) может ли число лет какого-то человека в 2018 году равняться сумме цифр года его рождения?
1) Найдете ли вы хоть один ответ в этой задаче?
2) Найдете ли вы два ответа?
3) Найдете ли вы три ответа?
б) Тот же вопрос для 2014 года.
Более общая задача: в) Разработав и обосновав алгоритм решения подобных задач, попробуйте ответить на вопросы:
4) какое наибольшее число ответов может быть в этой задаче среди всех различных лет XXI века?
5) укажите условия, при выполнении которых задача имеет ровно одно решение (или ровно два решения, или ровно три решения и т.д., или точнее: укажите. условия, при выполнении которых для некоторого конкретного года найдется ровно одно решение, ровно два решения, ровно три решения и т.п.).
6) укажите условия, при выполнении которых задача нее имеет решения (т.е. условия, при выполнении которых для некоторого конкретного года нет решений).
7) решите указанные задачи для разных лет ХХ века.
8) решите эти задачи для нашего тысячелетия; для всех лет новой эры (т.е. от первого года до 2018-го).
Общая постановка: г) Предложите свои обобщения или направления исследования в этой задаче и изучите их.
Задача 8. Робот
I. Андрей создал робота, который умеет работать с натуральными числами, выполняя следующие операции:
1) вычесть из данного числа 3 (если оно больше 3);
2) умножить данное число на 3;
3) разделить данное число на 3 (если оно делится на 3 без остатка).
1. За какое наименьшее количество операций можно из числа 82 получить число 81?
2. За какое наименьшее количество операций можно из числа 81 получить число 82?
3. Аналогичный вопрос о получении числа n из числа m.
II. Теперь робот Андрея научился загадывать натуральное число от 1 до 21. После этого можно ввести ему число, и он произносит один из следующих ответов: «Ваше число равно моему», «Ваше число отличается от моего на 1», а если число отличается более чем на 1, то робот отвечает «Ваше число больше моего (меньше моего)».
1. За какое наименьшее количество вопросов можно узнать, какое число загадал робот?
2. За какое наименьшее количество вопросов можно узнать, какое число загадал робот, если после усовершенствования он загадывает число от 1 до 100?
3. За какое наименьшее количество вопросов можно узнать, какое число загадал робот, если теперь он научился загадывать число от n до m? (13 QUOTE 1415)
Можно усложнить, введя дополнительный ответ компьютера: «Отличается на +-2», «+-3», «+-m», Отличается на 1 или на 3, без 2

Задача 9. Фигуры на точках
1. В три ряда расположены девять точек так, чтобы образовывать вершины четырех маленьких квадратиков, складывающихся в квадрат 2Ч2, как показано на рисунке:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Сколькими различными способами можно выбрать треугольник, вершинами которого служат какие-либо три из этих точек?
2. В четыре ряда расположены 16 точек так, чтобы как и в первом пункте образовывать вершины девяти маленьких квадратиков, складывающихся в квадрат 3Ч3. Ответьте на вопрос первого пункта.
3. В n рядов расположены n ( n точек, которые образуют квадрат как и в первых двух пунктах. Ответьте на вопрос первого пункта.
4. Пусть m ( n точек расположены в m горизонтальных рядов по n точек так, чтобы образовывать вершины четырех маленьких квадратиков, складывающихся в прямоугольник (m–1)Ч(n–1). Ответьте на вопрос первого пункта.
5) В пунктах 1) – 4) ответьте на вопрос, сколькими различными способами можно выбрать параллелограмм, вершинами которого служат какие-либо четыре из этих точек? (В этой задаче будем считать, что прямоугольник также является частным случаем параллелограмма).
6) Пусть F(k) – количество всех возможных различных параллелограммов с площадью k. В пункте 1) – 4) найдите F(k) для всех натуральных значений k.

Задача 10. Поговорим о языках
Предварительное важное замечание: во всех пунктах этой задачи, когда говорится, что ученые «знают один и тот же язык», «никто не знает более трех языков» и т.п., всегда имеется ввиду, что упомянутые языки выбираются из некоторого достаточно большого множества языков, т.е. общее число языков, на которых могут говорить все ученые вместе взятые, достаточно большое.
1. Для шести ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что каждый из них сможет общаться с каждым.
2. Для девяти ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. При этом никто из них не знает более трех языков. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что все они говорят на одном языке.
3. Для девяти ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском или только на английском языке. Докажите, что либо можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом только на английском языке, либо можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом только на русском.
4. Для семнадцати ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском, только на немецком или только на английском языке. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.
5. Для восемнадцати ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском или только на английском языке. Докажите, что можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.
6. Для n ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на одном из четырех языков. При каком наименьшем n можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.
7. Для n ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. При этом никто из них не знает более трех языков. При каком наименьшем n можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.
8. Обобщите пункты 6 и 7, если требуется выбрать k ученых, где k любое натуральное число (Так, например, в шестом пункте k = 3, в седьмом k = 4). Получите зависимость n = n(k).
9. Предложите свои обобщения задачи.

Задача 11. Признаки делимости
Под суммой цифр числа  13 QUOTE 1415, будем понимать сумму 13 QUOTE 1415.
Под суммой блоков цифр длины 13 QUOTE 1415 мы будем понимать сумму 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 и т.д.
Под взвешенной суммой цифр (блоков цифр) с весами 13 QUOTE 1415 будем понимать сумму


Если p1 = (1 и pi+1 = –pi для всех i ( 1, то взвешенную сумму будем называть знакопеременной.
1. Докажите, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда разность между количеством цифр 2, 5, 8 и количеством цифр 1, 4, 7 в записи числа делится на 3.
2. Докажите, что число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма блоков цифр длины 3 делится на 37.
3. Докажите, что для любого простого 13 QUOTE 1415 существует 13 QUOTE 1415 такое, что число делится на 13 QUOTE 1415, тогда и только тогда, когда сумма блоков цифр длины 13 QUOTE 1415 делится на 13 QUOTE 1415.
4. Докажите, что число делится на 137 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма блоков цифр длины 4 делится на 137.
5. Существует ли для любого простого числа 13 QUOTE 1415 число 13 QUOTE 1415 такое, что число делится на 13 QUOTE 1415 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма блоков цифр длины 13 QUOTE 1415 делится на 13 QUOTE 1415.
6. Докажите, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда взвешенная сумма блоков длины 2 с весами 13 QUOTE 1415 делится на 7.
7. Докажите, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда взвешенная сумма блоков длины 2 с весами 13 QUOTE 1415 делится на 7.
8. Пусть 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415. Докажите, что 13 QUOTE 1415 делится на 7 тогда и только тогда, когда 13 QUOTE 1415 делится на 7.
9. Докажите, что для любого простого 13 QUOTE 1415 существуют целые числа 13 QUOTE 1415, такие, что 13 QUOTE 1415 делится на 13 QUOTE 1415 тогда и только тогда, когда 13 QUOTE 1415 делится на 13 QUOTE 1415. Для каких простых 13 QUOTE 1415 можно подобрать 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 так, чтобы 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415.








13PAGE 15


13PAGE 14215





15

Приложенные файлы

  • doc 25568417
    Размер файла: 477 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий