Наибольший общий делитель в ОГИ. Теорема об однознач-ном разложении на множители в ОГИ. конференция или научно-популярная лекция по интересующему вас.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

Математический факультет







РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИ
НЫ


Б3.В.ОД.8

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ


Направление подготовки

44.03.0 Педагогическое образование


Направленность (профиль) подготовки

Математика и информатика

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

Кемерово 2014

2

1. Перечень планируемых резул
ьтатов обучения по дисциплине, соотнесенных с план
и-
руемыми результатами освоения образовательной программы

В результате освоения ООП бакалавра обучающийся должен овладеть следующими р
е-
зультатами обучения по дисциплине:

Коды

компетенции

Результаты освоения

ООП

Перечень планируемых результатов

по дисциплине

ОК
-
2

способность анализир
о-
вать мировоззренческие,
социально и личностно
-
значимые философские
проблемы

Знать:

-
основные проблемы развития понятия
числа в истории человечества;

Уметь:

-
анализировать мир
овоззренческие, соц
и-
ально и личностно значимые философские
проблемы в теории чисел;

Владеть:


-
навыками анализа мировоззренческих, с
о-
циально и личностно значимых проблем ф
и-
лософского характера по математике и и
н-
форматике

ОК
-
14

готовность к толеран
т-
ному в
осприятию соц
и-
альных и культурных ра
з-
личий, уважительному и
бережному отношению к
историческому наследию
и культурным традициям

Знать:

-
иметь представление о толерантности как
феномене современной действительности,

Уметь:

-

учитывать различные ценности

и кул
ь-
турные различия в процессе обучения и во
с-
питания подрастающего поколения,

Владеть:


-
навыками терпимости, взаимопонимания и
принятия иных культурных и социальных
различий


2. Место дисциплины в структуре ООП

ВО

Дисциплина входит в базовую часть про
фессионального цикла с кодом УП ООП
ци
к-
ла Б3.В.ОД.8.

Для изучения и освоения дисциплины нужны первоначальные знания из курса
алгебры. Знания и умения, приобретенные студентами в результате изучения дисциплины,
будут использоваться при выполнении курсовых и

выпускных работ, связанных с алгеброй и
3

теорией чисел, решением конкретных задач
естественнонаучного направления.

Дисциплина изучается на 2 курсе в 3 семестре.

3. Объем дисциплины в зачетных единицах с указанием количества академических
часов, выделенных
на контактную работу обучающихся с преподавателем и на
самостоятельную работу обучающихся

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 академических
часа.

3.1. Объём дисциплины по видам учебных занятий (в часах)

Вид учебной работы

Всего

часов

Общая трудоемкость базового модуля дисциплины

144

Контактная работа обучающихся с преподавателем

72

Аудиторные занятия (всего)

72

в том числе:


Лекции

36

Лабораторные

36

Внеаудиторная работа

0

Самостоятельная работа

72

Вид промежуточной атт
естации обучающегося

зачет







4

4. Содержание дисциплины, структурированное по темам с указанием отведенного на
них количества академических часов и видов учебных занятий

4.1. Разделы дисциплины и трудоемкость по видам учебных занятий (в академических
ча
сах)



п/п

Раздел

дисциплины

Общая трудоемкость (часы)

Виды учебных зан
я-
тий, включая сам
о-
стоятельную работу
обучающихся

и трудоемкость (в
часах)

Формы текущего контр
о-
ля успеваемости


аудиторные
учебные зан
я-
тия

С
а-
мо
с-
то
я-
тел
ь-
ная
раб.

Лек.

Лаб.

1

О
днозначное разложение на
множители в ОГИ

24

6

6

12

Контрольная работа


2

Применение однозначного
разложения на множители

16

4

4

8

Контрольная работа


3

Применение однозначного
разложения на множители


Непрерывные дроби


16

4

4

8

Контрольная работа


4

Ал
гебраические и трансце
н-
дентные числа


16

4

4

8

Контрольная работа



Теория сравнений


16

4

4

8

Семестровая работа

6

Структуры группы U(Z
\

nZ)

16

4

4

8

Семестровая работа

7

Квадратичные вычеты

24

6

6

12

Семестровая работа

8

Арифметические прилож
е-
ния те
ории сравнений


16

4

4

8

Семестровая работа


Всего

144

36

36

72










4.2 Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)

Содержание лекционных занятий



Наименование ра
з-
дела дисциплины

Содержание раздела дисциплины

1

Однозначное
разложение на множители


1.1. Однозначное разлож
е-
ние на множители


Евклидова область. Область главных идеалов. Связь между
ними.


Неприводимые и простые элементы в области целостности.


Наибольший общий делитель в ОГИ. Теорема об однозна
ч-
ном

разложении

на множители в ОГИ. Однозначное разложение
на множители в кольце Z целых чисел и в кольце К [х] мн
о-
гочленов от х над полем К.

2

Применение однозначного разложения на множители


2.1 Применение однозначн
о-
го разложения на множит
е-
ли


Теорема Евклида
о бесконечности множества простых чисел.
Некоторые числовые функции: функция Эйлера, число и су
м-
ма делителей натурального числа N .

3

Непрерывные дроби


3.1 Непрерывные дроби


Разложение вещественного числа в непрерывную дробь. По
д-
ходящие дроби. Закон об
разования их. Разность между двумя
соседними подходящими дробями. Свойства подходящих
дробей. Подходящие дроби как наилучшее приближение де
й-
ствительных чисел.


Квадратические иррациональности и периодические непр
е-
рывные дроби.


Теорема Лагранжа о квадрат
ических иррациональностях. Чи
с-
тые периодические дроби.

4

Алгебраические и трансцендентные числа.


4.1 Алгебраические и тран
с-
цендентные числа.

Определение алгебраического числа, степени алгебраического
числа. Поле алгебраических действительных чисел. Теор
ема о
счетности множества всех алгебраических чисел. Существ
о-
вание трансцендентных чисел. Трансцендентность числа е.
Теорема Лиувилля. Трансцендентные числа Лиувилля, пр
и-
меры их. Построение чисел Лиувилля с помощью подход
я-
щих дробей. Современное состоян
ие вопроса о трансценден
т-
ных числах.



Теория сравнений


.1 Теория сравнений

Сравнимость чисел по модулю m. Определения этого понятия
и эквивалентность их. Свойства сравнений. Кольцо классов
вычетов по модулю m. Полная система вычетов по модулю m.
Теоре
мы о полной системе вычетов по модулю m.


6

Приведенная система вычетов по модулю m. Теоремы о пр
и-
веденной системе вычетов по модулю m. Теоремы Эйлера и
Ферма. Нахождение остатков при делении чисел на данное
число.


Сравнение с одним неизвестным. Понятие р
ешения сравн
е-
ния по модулю m.


Сравнение первой степени с одним неизвестным. Число их
решений. Применение непрерывных дробей для решения т
а-
ких сравнений. Единицы кольца Z/mZ . Поле классов вычетов
по простому модулю.


Китайская теорема об остатках. Приме
нение этой теоремы для
решения систем сравнений первой степени по попарно взаи
м-
но простым модулям.


Китайская теорема об остатках с точки зрения теории колец.
Прямая сумма колец.

Группа U(R) единиц кольца R.


Прямое произведение групп U(R ) x U(R ) x …x

U(R ).


Изоморфизм между кольцами Z/mZ и Z/p Z + Z/p Z + … +
Z/p Z.


Изоморфизм между группами U(Z/mZ) и U(Z/p Z) x U(Z/p
Z) x …

..x U(Z/p Z) Z.

6

Структура группы U(Z/nZ)


6.1 Структура группы
U(Z/nZ).

Первообразные корни и структура групп
ы U(Z/nZ).


Теорема о том, что U(Z/pZ) циклическая, где p простое число.
Понятие первообразного корня по модулю m. Понятие пок
а-
зателя числа по модулю m.


Теорема о существование первообразных корней по модулю p


(о том, что группа U(Z/p Z) циклическая).


Первообразные корни по модулям 2 и 4. Строение группы
U(Z/2 Z) где l
≥ 3.


Теорема о том, что число n обладает первообразными корн
я-
ми тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2,4, p и 2p , где
p
-

нечетное простое число. Теоремы о первообразных ко
р-
нях.



Индексы по модулю p , 2p , где p


нечетное простое число.
Свойства индексов. Построение таблиц индексов.


Вычеты степени n по модулю m. Число вычетов степени n по
модулю m. Критерий того , что число а есть вычет степени n
по модулю m.


7

Квадра
тичные вычеты


7.1 Квадратичные вычеты

Квадратичные вычеты, квадратичные невычеты по модулю
простого числа p. Критерий Эйлера. Символ Лежандра и его
свойства. Квадратичный закон взаимности.

8

Арифметические приложения теории сравнений

7


8.1 Арифметическ
ие прил
о-
жения теории сравнений


Вывод признаков делимости на данное число m. Признаки
делимости на 3, 9, 11, 2, , 7, 13. Проверка правильности
арифметических действий над целыми числами.

Содержание лабораторных занятий



Наименование ра
з-
дела дисциплины

С
одержание раздела дисциплины

1

Однозначное разложение на множители


1.1. Однозначное разлож
е-
ние на множители


Евклидова область. Область главных идеалов. Связь между
ними.


Неприводимые и простые элементы в области целостности.


Наибольший общий делител
ь в ОГИ. Теорема об однозна
ч-
ном

разложении на множители в ОГИ. Однозначное разложение
на множители в кольце Z целых чисел и в кольце К [х] мн
о-
гочленов от х над полем К.

2

Применение однозначного разложения на множители


2.1 Применение однозначн
о-
г
о разложения на множит
е-
ли


Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
Некоторые числовые функции: функция Эйлера, число и су
м-
ма делителей натурального числа N .

3

Непрерывные дроби


3.1 Непрерывные дроби


Разложение вещественного числа в н
епрерывную дробь. По
д-
ходящие дроби. Закон образования их. Разность между двумя
соседними подходящими дробями. Свойства подходящих
дробей. Подходящие дроби как наилучшее приближение де
й-
ствительных чисел.


Квадратические иррациональности и периодические не
пр
е-
рывные дроби.


Теорема Лагранжа о квадратических иррациональностях. Чи
с-
тые периодические дроби.

4

Алгебраические и трансцендентные числа.


4.1 Алгебраические и тран
с-
цендентные числа.

Определение алгебраического числа, степени алгебраического
числа. По
ле алгебраических действительных чисел. Теорема о
счетности множества всех алгебраических чисел. Существ
о-
вание трансцендентных чисел. Трансцендентность числа е.
Теорема Лиувилля. Трансцендентные числа Лиувилля, пр
и-
меры их. Построение чисел Лиувилля с пом
ощью подход
я-
щих дробей. Современное состояние вопроса о трансценден
т-
ных числах.



Теория сравнений


.1 Теория сравнений

Сравнимость чисел по модулю m. Определения этого понятия
и эквивалентность их. Свойства сравнений. Кольцо классов
вычетов по модулю
m. Полная система вычетов по модулю m.
Теоремы о полной системе вычетов по модулю m.


Приведенная система вычетов по модулю m. Теоремы о пр
и-
веденной системе вычетов по модулю m. Теоремы Эйлера и
Ферма. Нахождение остатков при делении чисел на данное
числ
о.


Сравнение с одним неизвестным. Понятие решения сравн
е-
8

ния по модулю m.


Сравнение первой степени с одним неизвестным. Число их
решений. Применение непрерывных дробей для решения т
а-
ких сравнений. Единицы кольца Z/mZ . Поле классов вычетов
по простому мо
дулю.


Китайская теорема об остатках. Применение этой теоремы для
решения систем сравнений первой степени по попарно взаи
м-
но простым модулям.


Китайская теорема об остатках с точки зрения теории колец.
Прямая сумма колец.

Группа U(R) единиц кольца R.


Прямое произведение групп U(R ) x U(R ) x …x U(R ).


Изоморфизм между кольцами Z/mZ и Z/p Z + Z/p Z + … +
Z/p Z.


Изоморфизм между группами U(Z/mZ) и U(Z/p Z) x U(Z/p
Z) x …

..x U(Z/p Z) Z.

6

Структура группы U(Z/nZ)


6.1 Структура группы
U(
Z/nZ).

Первообразные корни и структура группы U(Z/nZ).


Теорема о том, что U(Z/pZ) циклическая, где p простое число.
Понятие первообразного корня по модулю m. Понятие пок
а-
зателя числа по модулю m.


Теорема о существование первообразных корней по модулю p


(о том, что группа U(Z/p Z) циклическая).


Первообразные корни по модулям 2 и 4. Строение группы
U(Z/2 Z) где l
≥ 3.


Теорема о том, что число n обладает первообразными корн
я-
ми тогда и только тогда, когда оно имеет вид 2,4, p и 2p , где
p
-

нечетное пр
остое число. Теоремы о первообразных ко
р-
нях.


Индексы по модулю p , 2p , где p


нечетное простое число.
Свойства индексов. Построение таблиц индексов.


Вычеты степени n по модулю m. Число вычетов степени n по
модулю m. Критерий того , что число а е
сть вычет степени n
по модулю m.


7

Квадратичные вычеты


7.1 Квадратичные вычеты

Квадратичные вычеты, квадратичные невычеты по модулю
простого числа p. Критерий Эйлера. Символ Лежандра и его
свойства. Квадратичный закон взаимности.

8

Арифметические пр
иложения теории сравнений


8.1 Арифметические прил
о-
жения теории сравнений


Вывод признаков делимости на данное число m. Признаки
делимости на 3, 9, 11, 2, , 7, 13. Проверка правильности
арифметических действий над целыми числами.


9

. Перечень учебно
-
мет
одического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине

1.

Бухштаб, А. А. Теория чисел [Текст] : учебное пособие / А. А. Бухштаб.
-

3
-
е изд., стер.
-

СПб. : Лань, 2008.
-

384 с.


2.

Деза Е.И., Котова Л.В. Сборник задач по теории чисел: 112 за
дач с подробными
решениями,URSS, 2012


3.

Виноградов И.М., Основы теории чисел. Изд.12, Лань, 2009.
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=2&pl1_id=46


6.1. Паспорт фонда оценочных средств по дисциплине (модулю)


п/п

Контролируемые разделы (темы)
ди
сциплины

(результаты по разделам)

Код контролируемой компете
н-
ции (или её части) / и ее форм
у-
лировка


по желанию

наименование оц
е-
ночного средства

1.


Однозначное разложение на мн
о-
жители

ОК
-
2, ОК
-
14

контрольное зад
а-
ние, зачет

2.


Применение однозначного разл
о-
жения на множители

ОК
-
2, ОК
-
14


контрольное зад
а-
ние

3.


Непрерывные дроби

ОК
-
2, ОК
-
14


контрольное зад
а-
ние, зачет

4.


Алгебраические и трансцендентные
числа

ОК
-
2, ОК
-
14


контрольное зад
а-
ние, зачет

.


Теория сравнений

ОК
-
2, ОК
-
14


семестровое зад
а-
ние

6.


Структур
а группы U(Z/nZ)

ОК
-
2, ОК
-
14


семестровое зад
а-
ние

7.


Квадратичные вычеты

ОК
-
2, ОК
-
14


семестровое зад
а-
ние

8.


Арифметические приложения те
о-
рии сравнений

ОК
-
2, ОК
-
14


семестровое зад
а-
ние







10

6.2. Типовые контрольные задания или иные материалы

6.2.1. Контрол
ьные работы

Контрольная работа №1
. Вариант 1

Однозначное разложение на множители

1.

Разложить на множители число: 1398269 (2 балла)

2.

Разложить на множители число: 697293 (3 балла)

3.

Разложить на множители число: 23209 (3 балла)


Контрольная работа №1. Вариант 2

Однозначное разложение на множители


1. Разложить на множители число: 139469 (2 балла)

2. Разложить на множители число: 647293 (3 балла)

3. Разложить на множители число: 4209 (3 балла)


Контрольная работа №2. Вариант 1


Применение однозначного разлож
ения на множители


1. Написать алгоритм деления u на v. (2 балла)

2. Найти число и сумма делителей натурального числа 7743? (3 балла)

3. Найти число и сумма делителей натурального числа 733? (3 балла)


Контрольная работа №2. Вариант 2

Применение однознач
ного разложения на множители


1. Написать алгоритм деления u на v. (2 балла)

2. Найти число и сумма делителей натурального числа 232? (3 балла)

3. Найти число и сумма делителей натурального числа 2111? (3 балла)




\

\

11

Контрольная работа №3. Вариант 1

Н
епрерывные дроби

1.


Доказать, что всякое раци
ональное число может быть записано в виде непрерывной дроби.
(2 балла)

2.

Напишите приближенное значение числа 334 непрерывной дробью. (3 балла)

3.

Напишите приближенное

значение числа 613 непрерывной дробью. (3 балла)


Контрольная работа №3. Вариант 2

Непрерывные дроби

1. Доказать, что всякое рациональное число может быть записано в виде непрерывной др
о-
би. (2 балла)

2. Напишите приближенное значение числа 34 непрерывной дробью. (3 балла)

3. Напишите приближенное значе
ние числа 323 непрерывной дробью. (3 балла)


Контрольная работа №4
. Вариант 1

Алгебраические и трансцендентные числа

1.

Приведите пример ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами, корнем к
о-
торого является 26. (2 балла)

2.

Приведите пример трансцендент
ного числа. (3 балла)

3.

Доказать, что трансцендентные числа существуют. (3 балла)


Контрольная работа №4. Вариант 2

Алгебраические и трансцендентные числа

1. Приведите пример ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами, корнем к
о-
торого является 13.
(2 балла)

2. Приведите пример трансцендентного числа. (3 балла)

3. Доказать, что трансцендентные числа существуют. (3 балла)





12


6.2.2. Семестровые работы


Вариант 1.

1.

Решить уравнение в целых числах 4
x
+

2y

= 31.

(1 балл)

2. Найти простые числа среди ч
исел: 123, 42, 123. (1 балл)

3. Являются ли числа:


1) 1, 4, 13, 6, 17, 9, 7, 19


2)
-
4, 3, 7,
-
, 3,
-
2, 1


3) 21, 19,
-
2, 7, 27, 0, 1, 2


полными системами вычетов по модулю 9. (1 балл)

4. Запишите группу единиц кольца Z/19
∙Z . (1
б
алл)

. Решить сравнения: (1 балл)


1) 2х



(mod 7)


2) 3х

13(mod 16)


3) 7х

12 (mod 20) .

6. Разрешимы ли сравнения: (1 балл)


1) х


1 (mod 37);


2) х


42 (mod 23).

7. По каким из следующих модулей существуют первообразны
е корни:

34, 11, , 13? (1 балл)

8. Найти остаток от деления числа 874 на 3. (1 балл)

9. Разложить в непрерывную дробь число 264. (1 балл)

10. Определить строение группы U(Z/17
∙Z). (1
балл)


Вариант
2
.


1. Решить уравнение в целых числах 7x + 9y = 2.


(1 балл)

2. Найти простые числа среди чисел: 127, 149, 221.


(1 балл)

3. Являются ли числа:

(1 балл)


1) 1, 3, 13, , 17, 8, 7, 19



2)
-
4, 2, 7, , 3,
-
2, 1



3) 17, 19,
-
2, 9, 27, 0, 1, 2



полными системами вычетов по модулю 8.


(1 б
алл)

4. Запишите группу единиц кольца Z/17
∙Z.

13

(1 балл)

. Решить сравнения:


(1 балл)


1) 2х
�3 (mod 7)

(1 балл)


2) 4х
�18(mod 16)



3) х
�10 (mod 2) .


6. Разрешимы ли сравнения:


(1 балл)


1) х
� 13 (mod 17);



2) х
� 22
(mod 13).


7. По каким из следующих модулей существуют первообразные корни:


32, 9, 8, 12?


(1 балл)

8. Найти остаток от деления числа 174 на 13.


(1 балл)

9. Разложить в непрерывную дробь число 443.


(1 балл)

10. Определить строение группы U(Z/1
∙Z). (1

балл)


6.2.3. Зачет


1) типовые вопросы для зачета


1.

Евклидова область. Область главных идеалов. Связь между ними. (4 балла)

Применение однозначного разложения на множители. (4 балла)

2.

Теорема об однозначном разложении на множители в ОГИ. (4 балла)

3.

Теор
ема Евклида о бесконечности множества простых чисел. (4 балла)

4.

Некоторые числовые функции: функция Эйлера, число и сумма делителей натурал
ь-
ного числа N. (4 балла)

.

Разложение вещественного числа в непрерывную дробь. (4 балла)

6.

Закон образования их. Разность
между двумя соседними подходящими дробями. (4
балла)

7.

Свойства подходящих дробей. Подходящие дроби как наилучшее приближение де
й-
ствительных чисел. (4 балла)

8.

Квадратические иррациональности и периодические непрерывные дроби.


(4 балла)

9.

Теорема Лагранжа о кв
адратических иррациональностях. Чистые периодические др
о-
би. (4 балла)

10.

Теорема о счетности множества всех алгебраических чисел. (4 балла)

11.

Трансцендентные числа Лиувилля, примеры их. Построение чисел Лиувилля с пом
о-
щью подходящих дробей. (4 балла)

12.

Сравнимос
ть чисел по модулю m. Определения этого понятия и эквивалентность их.
Свойства сравнений. (4 балла)

13.

Сравнение первой степени с одним неизвестным. Число их решений. (4 балла)

14.

Китайская теорема об остатках с точки зрения теории колец. (4 балла)

1.

Теорема о сущ
ествование первообразных корней по модулю p

14

(о том, что группа U(Z/p Z) циклическая). (4 балла)

16.

Индексы по модулю p , 2p, где p


нечетное простое число. Свойства индексов. П
о-
строение таблиц индексов. (4 балла)

17.

Квадратичные вычеты, квадратичные невычеты

по модулю простого числа p. Крит
е-
рий Эйлера. (4 балла)

18.

Вывод признаков делимости на данное число m. (4 балла)

19.

Проверка правильности арифметических действий над целыми числами (4 балла)



6.3 Описание шкалы оценивания




1. Максимальная сумма баллов, наб
ираемая студентом по дисциплине


100 баллов.


2. В зависимости от суммарного количества набранных баллов, студенту выставляются сл
е-
дующие оценки:


0
-
9 баллов


«не зачтено»;


60
-
100 баллов


«зачтено»;


3. Максимальная сумма баллов промежуточной аттестац
ии (текущей успеваемости)


80
баллов.


Максимальная сумма баллов семестровой аттестации (зачета)


20 баллов.


4. Оценка промежуточной аттестации (текущей успеваемости).


4.1. Максимальная сумма баллов промежуточной аттестации (текущей успеваемости)


80
баллов. Баллы студенты набирают написав реферат, отвечая на теоретические вопросы (
баллов), за семестровую работу (10 боллов


пр одному баллу за каждое задание).

Оценка рефератов на лабораторном занятии по темам:


1.

Однозначное разложение на множители в к
ольце Z целых чисел и в кольце К [х]
многочленов от х над полем К


 баллов


2.

Некоторые числовые функции: функция Эйлера, число и сумма делителей натурал
ь-
ного числа N


1 балл,


3.

Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.


1 балл,


4.

Неко
торые числовые функции: функция Эйлера, число и сумма делителей натурал
ь-
ного числа N.


 баллов


.

Разложение вещественного числа в непрерывную дробь. Подходящие дроби.


3 ба
л-
ла,


6.

Закон образования их. Разность между двумя соседними подходящими дробями.


3
балла,


7.

Свойства подходящих дробей.


3 балла,

1


8.

Подходящие дроби как наилучшее приближение действительных чисел.


3 балла,


9.

Квадратические иррациональности и периодические непрерывные дроби.


6 балла,


10.

Теорема Лагранжа о квадратических иррационально
стях.


 баллов


11.

Чистые периодические дроби.


2 балла,


12.

Определение алгебраического числа, степени алгебраического числа.


2 балла,


13.

Поле алгебраических действительных чисел.


2 балла,


14.

Теорема о счетности множества всех алгебраических чисел.


2 балла
,


1.

Существование трансцендентных чисел.


2 балла,


16.

Трансцендентность числа е.


 баллов


17.

Построение чисел Лиувилля с помощью подходящих дробей.


6 баллов,


18.

Сравнимость чисел по модулю m. Определения этого понятия и эквивалентность их.
Свойства сравнен
ий.


 баллов,


19.

Вычеты степени n по модулю m. Число вычетов степени n по модулю m. Критерий
того , что число а есть вычет степени n по модулю m.


 баллов,


20.

Символ Лежандра и его свойства. Квадратичный закон взаимности.


7 баллов.


4.2. Любое контрол
ьное задание в реферате должно быть наглядным.

4.3. Во время сдачи реферата необходимо отвечать на теоретические вопросы полностью.


4.4. Теоретические вопросы каждого раздела


домашнее задание (реферат). Защищать р
а-
зобранные теоретические вопросы, при

этом отвечать на вопросы.


. Оценка семестровой аттестации (зачет).


.1. Максимальная сумма баллов семестровой аттестации (зачета)


20 баллов. Студенты н
а-
бирают их отвечая на  вопросов, каждый из которых оценивается по 4 балла.


Некоторые студенты, пр
оявившие активность при изучении курса по усмотрению лектора и
преподавателя ведущего лабораторные занятия, которые по итогам текущей аттестации н
а-
бирают 80 баллов, могут получить бонусные баллы от 1 до 20.




Критерии оценивания теоретических знаний




на отметку "зачтено"


1) Знать все определения;


16

2) Уметь разлагать вещественное число в непрерывную дробь.


3) Знать закон образования их. Разность между двумя соседними подходящими дробями.

4) Знать свойства подходящих дробей. Подходящие дроби

как наилучшее приближение де
й-
ствительных чисел.

) Квадратические иррациональности и периодические непрерывные дроби.


6) Теорема Лагранжа о квадратических иррациональностях. Чистые периодические дроби.

7) Теорема о счетности множества всех алгебраическ
их чисел.

8) Трансцендентные числа Лиувилля, примеры их. Построение чисел Лиувилля с помощью
подходящих дробей.

9)Сравнимость чисел по модулю m. Определения этого понятия и эквивалентность их.

10) Китайская теорема об остатках с точки зрения теории коле
ц.


6.3. Методические материалы, определяющие процедуру оценивания знаний, умений, нав
ы-
ков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций


Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине


100 баллов. Данные
баллы
студент может набрать регулярно посещая занятия и активно работая на них. В зав
и-
симости от суммарного количества набранных баллов в течении семестра, студенту выста
в-
ляются следующие оценки: 0
-
9 баллов


«не зачтено»; 60
-
100 баллов


«зачтено».


Студенту,
при сдачи теоретического материала, необходимо показать свое фундаментальную
подготовку в области фундаментальной математики и компьютерных наук, способность и
с-
пользовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении те
о-
ретических и п
рикладных задач (ПК
-
); способность передавать результат проведенных ф
и-
зико
-
математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выр
а-
женных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК
-
6).




При сдаче заданий по лабораторным
(разбалловка см. п.

6.2.1. г) необходимо предоставить
программу расчета и ответить на поставленные вопросы. Если студент пропустил занятие, он
может его «отработать»
-

прийти с выполненным заданием к преподавателю в часы консул
ь-
таций.

7. Перечень основной
и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины

а)

основная литература:

1.

Бухштаб, А. А. Теория чисел [Текст] : учебное пособие / А. А. Бухштаб.
-

3
-
е изд., стер.
-

СПб. : Лань, 2008.
-

384 с.


2.

Деза Е.И., Котова Л.В. Сборник задач по

теории чисел: 112 задач с подробными
решениями,URSS, 2012.

б)

дополнительная литература:

1.

Виноградов И.М., Основы теории чисел. Изд.12, Лань, 2009.
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=2&pl1_id=46


8. Перечень ресурсов
информационного
-
телекомму
никационной сети «Интернет»,
17

www.mathnet.ru



общероссийский математический портал;



http://e.lanbook.com/books/?p_f_1_temp_id
=18&p_f_1_6=917&p_f_1_63=
&p_f_1_67
=
-

электронно
-
библиотечная система, издательство «Лань»;



www
.
lib
.
mexmat
.
ru



электронная библиотека механико
-
математического
факультета МГУ;



http
://
www
.
newlibrary
.
ru
/
genre
/
nauka
/
matematika
/
kompyutery
_
i
_
matematika
/

-

электронная библиотека по математике;



http
://
www
.
edu
.
ru
/
modules
.
php
?
op
=
modload
&
name
=
Web
_
Links
&
file
=
index
&
l
_
op
=
viewlink
&
cid
=2720



федеральный портал российского
профессионального образования: Математика и естественно
-
научное
образование;



http://univertv.ru/video/matematika/

Открытый образовательный
видеопортал UniverTV.ru. Образовательные фильмы на различные темы.
Лекции в ведущих российских и зарубежных вузах. Научная
конференция или научно
-
популярная лекция по интере
сующему вас
вопросу.



http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm

EqWorld



мир математических
уравнений. Учебно
-
образовательная физико
-
математическая библиотека.
Электронная библиотека содержит DjVu
-

и PD
F
-
файлы учебников,
учебных пособий, сборников задач и упражнений, конспектов лекций,
монографий, справочников и диссертаций по математике, механике и
физике. Все материалы присланы авторами и читателями или взяты из
Интернета (из www архивов открытого дост
упа). Основной фонд
библиотеки составляют книги, издававшиеся тридцать и более лет назад.

9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

К современному специалисту общество предъявляет достаточно широкий перечень
требований, среди которых
немаловажное значение имеет наличие у выпускников
определенных способностей и умения самостоятельно добывать знания из различных
источников, систематизировать полученную информацию, давать оценку конкретной
финансовой ситуации. Формирование такого умения п
роисходит в течение всего периода
обучения через участие студентов в практических занятиях, выполнение контрольных
заданий и тестов, написание курсовых и выпускных квалификационных работ. При этом
самостоятельная работа студентов играет решающую роль в ход
е всего учебного процесса.

9.1. Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения
дисциплины
. Рекомендуется следующим образом организовать время, необходимое для
изучения дисциплины:

Изучение конспекта лекции «Теория чисел» в тот же д
ень, после лекции


10
-
1 минут.

Изучение конспекта лекции за день перед следующей лекцией


10
-
1 минут.

Изучение теоретического материала по учебнику и конспекту


1 час в неделю.

Подготовка к практическому занятию


1 час.

Всего в неделю


3 часа 2 мин
ут.

18

9.2. Описание последовательности действий студента («сценарий изучения дисци
п-
лины»)
.

При изучении дисциплины очень полезно самостоятельно изучать материал, который еще
не прочитан на лекции и не применялся на лабораторном занятии. Тогда лекция будет

гора
з-
до понятнее. Однако легче при изучении курса следовать изложению материала на лекции.
Для понимания материала и качественного его усвоения рекомендуется такая последов
а-
тельность действий:

1. После прослушивания лекции и окончания учебных занятий, при

подготовке к занятиям
следующего дня, нужно сначала просмотреть и обдумать текст лекции, прослушанной сег
о-
дня (10
-
1 минут).

2. При подготовке к лекции следующего дня, нужно просмотреть текст предыдущей ле
к-
ции, подумать о том, какая может быть тема следую
щей лекции (10
-
1 минут).

3. В течение недели выбрать время (1
-
час) для работы с литературой по численному ан
а-
лизу в библиотеке.


2. При подготовке к практическим занятиям следующего дня, необходимо сначала проч
и-
тать основные понятия и теоремы по теме дома
шнего задания. При выполнении упражнения
или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой теоретический материал
нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не дало результатов, и Вы сд
е-
лали задачу «по образцу» аудиторной задач
и, или из методического пособия, нужно после
решения такой задачи обдумать ход решения и опробовать решить аналогичную задачу с
а-
мостоятельно.

9.3. Рекомендации по использованию материалов учебно
-
методического комплекса
.
Рекомендуется использовать методичес
кие указания по курсу теория чисел, текст лекций
преподавателя (если он имеется). Рекомендуется использовать электронные учебно
-
методические пособия по решению задач по алгоритмам в алгебре.

9.4. Рекомендации по работе с литературой
. Теоретический материал

курса становится
более понятным, когда дополнительно к прослушиванию лекции и изучению конспекта, из
у-
чаются и книги по курсу теория чисел. Литературу по курсу курсу теория чисел рекоменд
у-
ется изучать в библиотеке. Полезно использовать несколько учебников

по курсу численных
методов. Однако легче освоить курс придерживаясь одного учебника и конспекта. Рекоме
н-
дуется, кроме «заучивания» материала, добиться состояния понимания изучаемой темы ди
с-
циплины. С этой целью рекомендуется после изучения очередного пара
графа выполнить н
е-
сколько простых упражнений на данную тему. Кроме того, очень полезно мысленно задать
себе следующие вопросы (и попробовать ответить на них): о чем этот параграф?, какие н
о-
вые понятия введены, каков их смысл?, сколько теорем в этом парагра
фе и каков их смысл
19

«своими словами», будет ли верна теорема, если опустить некоторые условия в ее формул
и-
ровке?. Доказательства теорем следует не заучивать, а «понять». С этой целью рекомендуе
т-
ся записать идею доказательства, составить план доказательства
, попробовать доказать те
о-
рему самостоятельно, может быть другим способом, сравнить доказательство теоремы в ко
н-
спекте и в учебнике. При изучении теоретического материала всегда нужно рисовать схемы
или графики.

9.. Указания по организации работы с контр
ольно
-
измерительными материалами,
по выполнению домашних заданий
. При выполнении домашних заданий необходимо сн
а-
чала прочитать основные понятия и теоремы по теме задания. При выполнении упражнения
или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, ка
кой теоретический материал
нужно использовать, наметить план решения задачи, попытаться запрограммировать. Если
это не дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из мет
о-
дического пособия, нужно после решения такой задачи обду
мать ход решения и опробовать
решить аналогичную задачу самостоятельно.

10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных с
истем

1. Microsoft Office

2. Internet explorer
или

другой

веб
-
браузер

3. Лекции с применением мультимедийных материалов;

4. Электронная почта для проведения дистанционного обучения и консул
ь-
таций.

. Skype для проведения занятий со студентами, по состояни
ю здоровья не
имеющих возможности посещать занятия.

11. Описание материально
-
технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине

Каждая лекция построена по следующему шаблону: название лекционного занятия,
цель и задачи

лекции, краткое содержание предыдущей лекции, изложение теоретического
материала, в конце приводятся итоги лекционного занятия, обозначается тема следующей
лекции. В процессе лекции формулируются вопросы и задания для самостоятельного изуч
е-
ния.

Практическ
ие занятия проходят в учебной аудитории. На первой части занятия обсу
ж-
даются типичные ошибки, допущенные обучающимися при выполнении заданий, формул
и-
20

ровавшихся на предыдущем занятии. Вторая часть посвящена разбору нового материала.
Третья часть


выполнени
ю практических заданий с целью закрепления материала.


12. Иные сведения и материалы

12.1.
Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Теория чисел» являются изучение алгоритмических методов
современной алгебры, имеющие широкий спектр приложений

в математике и компьютерных
науках.

























Составитель: Агеев Д. В. ассистент кафедры алгебры и геометрии КемГУ.



Приложенные файлы

  • pdf 29728431
    Размер файла: 285 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий