В их числе, система счисления Штерна-Броко [3], золотая система счисления [4] и уравновешенная троичная информационная система счисления [5]

В.П.Федотов
О НОВЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРЕПОДАВАНИИ
Северо-Западный институт печати, Санкт-Петербург

В числе атрибутов того или иного этапа развития человеческой цивилизации можно указать на диапазон чисел, востребованных этой исторической эпохой. Соответственно развиваются языковые средства (прежде всего, количественные числительные) и способы записи чисел – системы счисления.
До наших дней остались в употреблении римские цифры. Анализ возможностей представления чисел с их помощью явно указывает на то, что древним римлянам практически не приходилось иметь дело с числами, значительно превышавшими 103. К концу XX века этот диапазон достиг 1080. С одной стороны, именно таков предел для представления чисел в компьютерах и микрокалькуляторах (если не прибегать к специальным ухищрениям). С другой, примерно такова же и оценка для числа элементарных частиц во вселенной. Поэтому естественные науки никогда не потребуют чисел вне этого диапазона, а ни «традиционная» техника, ни экономика к его границе пока даже и не приближаются. Наконец, именно в районе 1080 обрывается список имен числительных, которые можно встретить в словарях.
Но, между тем, рубеж тысячелетий стал рубежом исторических эпох. Произошла информационная революция. Наступившее время характеризуется, в первую очередь, тотальным внедрением компьютерной техники во все сферы человеческой жизни. Соответственно возникает потребность и в резком расширении диапазона чисел. Ее стимулируют теоретические исследования в области информатики, криптографии и ряда смежных дисциплин, а также борьба с катастрофической потерей точности [7], часто возникающей в процессе вычислений. Поэтому и встал вопрос о новых системах счисления.
Один из основателей информатики Джон фон Нейман доказал теорему о том, что среди всех основных позиционных систем счисления именно троичная система счисления позволяет наиболее эффективно сворачивать информацию о вещественном числе. Этот факт базируется на том, что среди целых чисел именно 3 ближе всех к основанию натуральных логарифмов e(2.718. Однако названный эффект можно усилить, если вместо традиционных систем счисления использовать более сложные конструкции башенных [6], итерационных [1] и интервальных [8] систем, построенные автором этого доклада и моими учениками.
В отличие от традиционных, только что упомянутые системы счисления основаны на информационном принципе: каждый очередной бит последовательно уточняет информацию о месте точки на числовой прямой [8]. Это становится важным, например, при параллельных вычислениях: первые цифры числа можно передавать очередному этапу алгоритма еще задолго до того, как найдены последующие цифры. При традиционной же записи числа первые цифры вообще не несут никакой информации о величине числа до тех пор, пока неизвестен его порядок или положение разделяющей точки (однако все последующие цифры вполне соответствуют этому требованию).
Первый бит информации о числе, чаще всего, совпадает с его знаком. Он служит ответом на вопрос о сравнении числа с нулем. В качестве второго бита разумно взять знак порядка (то есть, знак логарифма; причем совершенно безразлично, идет ли речь о натуральных, десятичных, двоичных логарифмах, либо по другому основанию, большему единицы). Этот бит служит ответом на вопрос о сравнении положительного числа с 1 или отрицательного числа с –1.
Ясно, что и в качестве последующих битов записи числа можно брать ответ на вопрос о сравнении данного числа с числами из некоторой последовательности. Проблема лишь в том, как задать саму последовательность. Алгоритм формирования последовательности нужно выбрать заранее, хотя конкретные ее члены будут строиться уже в зависимости от числа.
Чтобы таким способом получить какую-либо итерационную систему счисления [1], в качестве чисел для сравнения берут корни последовательных итераций нужной монотонной функции. В частности, если эта функция – логарифм, основание которого не меньше e1/e(1.4447, то получится башенная система счисления [6]. Именно башенные системы счисления позволяют «убить сразу двух зайцев». Во-первых, они лучше всего усиливают эффект названной выше теоремы Джона фон Неймана. Во-вторых, сравнительно небольшим количеством цифр они позволяют записать числа, абсолютная величина которых пока еще недоступна не только словесной формулировке, но даже и весьма богатому воображению.
Были построены еще несколько примеров систем счисления, реализующих описанную конструкцию. В их числе, система счисления Штерна-Броко [3], золотая система счисления [4] и уравновешенная троичная информационная система счисления [5]. Обнаружена тесная связь новых систем счисления с распределениями вероятностей случайных величин [2].
В последние годы все основные параметры компьютерной техники ежегодно вырастали в среднем в 4 раза. Ясно, что их экспоненциальный рост не может продолжаться бесконечно (в частности, этому препятствует и атомное строение вещества). Как только он прекратится, производители начнут искать другие пути усовершенствования компьютерной техники. И тогда они вынуждены будут отказаться от двоичной системы счисления в пользу башенных.
Это может случиться уже через 10-15 лет. Поэтому предмет моего выступления нужно безотлагательно включать в учебные программы тех технических университетов, где готовят программистов и специалистов по «железу».

Литература
Баранова Н.В., Федотов В.П. Итерационные системы счисления. // Актуальные проблемы современной науки. Ч. 1. – Самара, 2001, с. 21.
Баранова Н.В. Вероятностные системы счисления. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM–2003. СПб, 2003.
Кноп К.А. Недвоичная система счисления. // Домашний компьютер, 2001, N8.
Кравченко А.А., Кравченко С.П. Золотая система счисления. // Актуальные проблемы современной науки. Ч. 1. – Самара, 2001. – с. 38.
Кравченко Ю.А. Информационная уравновешенная троичная система счисления. // Актуальные проблемы современной науки. Ч. 1. – Самара, 2002. – с. 98.
Федотов В.П. Башенные системы счисления. // Информационные технологии в образовании. – СПб, РГПУ, 1998.
Федотов В.П. Новые системы счисления как альтернатива интервальным вычислениям. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM–2003. СПб, 2003.
Федотова М.В., Федотов В.П. Интервальные системы счисления. // Актуальные проблемы современной науки. Ч. 1. – Самара, 2001, с. 55.
Федотова М.В. Информационные системы счисления. // Межд. конф. «Интел-Юниор, 2001». М., МИФИ, 2001.

F Заголовок 1> Заголовок 2< Заголовок 3Ў: 15тD Основной текстT Основной текст с отступомTimes New Roman-О НОВЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРЕПОДАВАНИИ

Приложенные файлы

  • doc 34410857
    Размер файла: 33 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий